pour tout point \(A\) du plan ou de l'espace, le vecteur \(\overrightarrow{AA}\) est le vecteur nul, noté \(\vec 0\)
Le vecteur \(0_E\) s'appelle le vecteur nul de \(E\) \(0_E\) est unique
Démonstration : ^[$$\begin{align}&\text{supposons qu'il existe deux éléments }0_E\in E\text{ et }0'_E\in E\text{ satisfaisant}\\ &\text{la propriété de l'élément neutre}\\ &\text{cela signifie que, pour tout }u\in E,\text{ on a :}\\ &u\dotplus0_E=u\text{ et }u\dotplus0'_E=u\\ &\text{en appliquant la première relation avec }u=0_E',\text{ on obtient que }\\ &0'_E\dotplus0_E=0'_E,\text{ et en utilisant la commutativité, on en déduit que}\\ &0'_E\dotplus0_E=0'_E\\ &\text{en utilisant maintenant la seconde relation avec }u=0_E,\text{ on obtient alors}\\ &0'_E=0_E\dotplus0'_E=0_E\\ &\text{ainsi, }0_E=0'_E\end{align}$$]
Pour tout \(u\in E\), on a : $${{0}}\centerdot u={{0_E}}$$